https://frosthead.com

Ik ben Pi: gedachten over de verhouding van de omtrek van een cirkel tot zijn diameter

Elk jaar wordt de viering van Pi Day (14 maart 3.14) ambitieuzer. Wiskundeleraren bedenken graag unieke klasactiviteiten om Pi te vieren vanwege de eindeloze mogelijkheid om te rekenen (3.14159265358989 enzovoort). Deze week werd het congres officieel. Morgen is het Nationale Pi-dag.

gerelateerde inhoud

  • Trouwen op Pi Day is een ding

Ik kan het niet helpen, maar persoonlijk genieten op dit moment. Ik heb een langdurige associatie met het woord, geboren en gedoopt Beth Py (Lieberman kwam later met een trouwring). Het schoolplein was gevuld met pestkoppen die me beledigden met beledigingen (Py Face, Cow Pie).

Maar ik vond waardigheid in de Griekse vorm van mijn naam. Ik ben Pi, de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter.

Ik pakte de telefoon hier bij het Smithsonian en ging op zoek naar meer informatie over Pi en hoe het wordt weergegeven in de nationale collecties. Peggy Kidwell, de curator van de wiskunde in het National Museum of American History, bood genadig aan om mijn gids te zijn en bood me eerst een uniek geheugensteuntje aan om de eerste van de keten van oneindige cijfers in het getal Pi te herinneren. Tel gewoon het aantal letters in elk van de woorden in deze zin, en je begint goed:

" Hoe (3) ik (1) wil (4) een (1) drankje (5), alcoholisch (9) van (2 ... enzovoort) , na de zware hoofdstukken over kwantummechanica (3.14159265358989)." (Nu, dat is voer voor een cocktailparty.)

Maar hier is een feit dat je van je sokken zal stoten. Herinner je je van kinds af aan, Harold and the Purple Crayon, de peripatieke jongen wiens krijt hem een ​​wereld en een verhaal trok? De auteur van dat baanbrekende verhalenboek, Crockett Johnson maakte een reeks schilderijen tussen 1966 en 1975 om Pi te vertegenwoordigen (hierboven). Veel van Johnson's schilderijen bevinden zich in de collecties van American History, en als je vandaag naar het museum gaat, kun je andere wiskundige artefacten vinden in de wetenschaps- en technologiegalerijen.

Kijk voor meer informatie over Pi Day morgen op onze bijbehorende blog, Surprising Science, over de eigenlijke vakantie.

Om zijn werk uit te leggen, biedt Johnson deze verhandeling aan, die ik bereid ben te posten, maar ik zal de uitleg na de sprong overlaten aan Kidwell:

2008-14569-300x195.jpg (Afbeeldingen met dank aan het National Museum of American History)

"Dit olieverfschilderij op geperst hout, # 52 in de serie, toont een van de originele constructies van Crockett Johnson. Hij voerde dit werk uit in 1968. Hij was trots op de constructie en schilderde verschillende andere geometrische constructies met betrekking tot het kwadraat van de cirkel. Deze constructie maakte deel uit van Johnson's eerste originele wiskundige werk en werd begin 1970 gepubliceerd in The Mathematical Gazette. Een diagram met betrekking tot het schilderij werd daar gepubliceerd.

Om "een cirkel te kwadrateren" moet men een vierkant construeren waarvan het gebied gelijk is aan dat van een gegeven cirkel met behulp van alleen een rechte rand (een ongemarkeerde liniaal) en kompas. Dit is een oud probleem uit de tijd van Euclid. In 1880 bewees de Duitse wiskundige Ferdinand von Lindermann dat pi een transcendentaal getal is en dat het kwadraten van een cirkel onmogelijk is onder de beperkingen van de Euclidische geometrie. Omdat dit bewijs ingewikkeld en moeilijk te begrijpen is, bleef het probleem van het kwadraten van een cirkel amateur-wiskundigen zoals Crockett Johnson aantrekken. Hoewel hij uiteindelijk begreep dat de cirkel niet kan worden gekwadrateerd met een rechte rand en een kompas, slaagde hij erin om een ​​geschat kwadraat te construeren.

De constructie begint met een cirkel met een straal. In deze cirkel heeft Crockett Johnson een vierkant ingeschreven. Daarom is in de figuur AO = OB = 1 en OC = BC = √2 / 2. AC = AO + OC = 1 + √ (2) / 2 en AB = √ (AC ^ 2 + BC ^ 2) = √ (2 + √ (2)). De kunstenaar liet N het middelpunt van OT zijn en bouwde KN parallel aan AC. K is dus het middelpunt van AB en KN = AO - (AC) / 2 = (2- √2) / 4. Vervolgens liet hij P het middelpunt van OG zijn en trok KP, die AO kruist bij X. Crockett Johnson vervolgens berekend NP = NO + OP = (√2) / 4 + (1/2). Driehoek POX is vergelijkbaar met driehoek PNK, dus XO / OP = KN / NP. Uit deze gelijkheid volgt dat XO = (3-2√ (2)) / 2. AX = AO-XO = (2√ (2) -1) / 2 en XC = XO + OC = (3-√ (2)) / 2. Crockett Johnson zette zijn benadering voort door XY parallel aan AB te construeren. Het is duidelijk dat driehoek XYC vergelijkbaar is met driehoek ABC, en dus XY / XC = AB / AC. Dit houdt in dat XY = / 2. Uiteindelijk construeerde hij XZ = XY en berekende AZ = AX + XZ = / 2, wat ongeveer gelijk is aan 1.772435. Crockett Johnson wist dat de vierkantswortel van pi ongeveer gelijk is aan 1.772454, en dus is AZ ongeveer gelijk aan wortel (pi) - 0.000019. Met kennis van deze waarde construeerde hij een vierkant met elke zijde gelijk aan AZ. De oppervlakte van dit vierkant is AZ in het vierkant, of 3.1415258. Dit verschilt minder dan 0, 0001 van het gebied van de cirkel. Dus, Crockett Johnson regelde ongeveer de cirkel.

Ik ben Pi: gedachten over de verhouding van de omtrek van een cirkel tot zijn diameter