Wanneer de meesten van ons een taffy-trekkende machine zien wegslingeren op een toeristische promenade, denken we aan zoete, zoete suiker. Jean-Luc Thiffeault denkt aan zoete, zoete wiskunde. Als toegepast wiskundige aan de Universiteit van Wisconsin-Madison is Thiffeault met name geïnteresseerd in de manier waarop materialen zoals taffy worden gemengd: in de machine wordt het snoep uitgerekt en over en weer gevouwen om lucht op te nemen en zijn lichte, taaie textuur te ontwikkelen. Terwijl het wordt getrokken, wordt de oorspronkelijke rechthoek van taffy meer en meer uitgerekt - zijn lengte groeit exponentieel met elke keer dezelfde verhouding. Die rekverhouding is wat Thiffeault interesseert.
gerelateerde inhoud
- Smeltbestendige chocolade, 3D-geprinte gummies en andere fascinerende snoeppatenten
Wanneer een persoon taffy trekt, nemen ze meestal de klomp snoep en strekken deze over een haak en brengen de twee uiteinden samen. Dan nemen ze dat gevouwen stuk en strekken het weer over de haak, verdubbeling van de lengte, enzovoort. Met andere woorden: "De menselijke manier om het te doen is een vermenigvuldigingsfactor van 2", zegt Thiffeault. Mechanische trekkers kunnen het beter doen, en leveren vaak grotere, exotische irrationele aantallen op als hun rekfactoren.
Het blijkt dat taffy trekken kan worden gemodelleerd door een abstract veld van wiskunde dat bekend staat als topologische dynamiek, in wezen de studie van langdurige, grootschalige veranderingen in de tijd in een wiskundige ruimte. (Als het woord topologisch bekend klinkt, was het onlangs in het nieuws als onderdeel van de Nobelprijs voor natuurkunde van dit jaar.) Dezelfde wiskunde die taffy-pulling beschrijft, heeft ook meer serieuze toepassingen: veel industriële processen, waaronder glasblazen en medicijnbereiding, vereisen viskeuze vloeistoffen worden gemengd op manieren die meer lijken op het trekken van taffy dan het roeren van room in koffie. "Als je echt viskeuze dingen probeert te roeren, zoals pasta's in de farmaceutische industrie, kun je ze niet zomaar schudden", zegt Thiffeault. "Het is niet zoals het mengen van verf."
Thiffeault begrijpt taffy-trekken al lange tijd als een voorbeeld van viskeuze menging, maar pas onlangs heeft hij daadwerkelijk de geschiedenis van taffy-pullers onderzocht om hun wiskundige geheimen te ontrafelen. Het resultaat van die excursie naar historische patenten is zijn recente artikel 'Een wiskundige geschiedenis van taffy-trekkers', dat in juli op de preprint-server arXiv is gepubliceerd.
Een afbeelding uit een patent van een taffymachine uit 1916 dat voorkomt in de studie van Thiffeault. In het bijzonder is het gebied dat leidde tot zijn diepe duik met taffy-puller de studie van zogenaamde pseudo-Anosov-afbeeldingen. Pseudo-Anosov is een mooie manier om een proces te beschrijven waarbij een tweedimensionale vorm exponentieel in de ene richting wordt uitgerekt, terwijl deze in de andere krimpt. Wiskundig gezien is de studie van pseudo-Anosov-toewijzingen relatief nieuw. "In de jaren '70 en '80 probeerden mensen heel hard om voorbeelden te vinden, " zegt Thiffeault. Ironisch genoeg waren ze er altijd al in patenten voor taffy-pullers. "Omdat wiskundigen nooit naar deze literatuur hebben gekeken, zouden ze nooit hebben geweten dat ze bestonden", zegt hij.
Terwijl hij door taffy-puller-octrooien kamde, stuitte Thiffeault op een juridische strijd die helemaal naar het Hooggerechtshof ging. Aan de orde in de zaak Hildreth v. Mastoras uit 1921 was hoe ruim een 1900-patent voor een taffy-puller moest worden opgevat. Dat wil zeggen: werd een later model door iemand anders slechts een kleine verbetering gemaakt, of was het een ander apparaat? Een cruciaal onderdeel van het argument was hoe anders het 1900-patent was van een voorganger uit 1893 (die waarschijnlijk nooit werd vervaardigd). De mening van de rechtbank, geschreven door Opperrechter William Howard Taft, "toont een goed begrip van de topologische dynamiek", schrijft Thiffeault in zijn artikel.
De rechtbank erkende dat het eerdere apparaat - dat slechts twee haken had - de taffy niet tot het exponentiële niveau kon hebben uitgerekt dat vereist is voor efficiënte creatie van gebak. Taft's mening luidt:
Met slechts twee haken kon het snoep niet worden geklopt, omdat er geen derde pin was om het snoep opnieuw vast te zetten terwijl het tussen de andere twee pinnen werd gehouden. De beweging van de twee pennen in concentrische cirkels kan het enigszins oprekken en roeren, maar het zou het niet trekken in de zin van de techniek.
Thiffeault schrijft: "De mening van het Hooggerechtshof toont het fundamentele inzicht dat ten minste drie staven nodig zijn om een soort van snelle groei te produceren."
Thiffeault zegt dat er vandaag twee standaard taffy-trekkers in gebruik zijn, een met drie stangen en een met vier. Ze hebben toevallig dezelfde rekfactor. Het is gerelateerd aan de zogenaamde zilververhouding, 1+ √2, of ongeveer 2.414, een iets minder lichtgevende neef van de bekendere gulden snede.
Het feit dat de twee standaard taffy-trekkers zich uitstrekken met de zilververhouding is interessant omdat de zilververhouding - in een precieze wiskundige zin - optimaal is. Thiffeault waarschuwt echter dat het niet zo eenvoudig is om verschillende taffy-pullers te rangschikken, zelfs als je hun rekfactoren kent: "Er is een aspect van appels en sinaasappels dat vrij moeilijk te omzeilen is, " zegt hij. De ene trekker kan meer stangen hebben en het duurt langer om terug te keren naar de oorspronkelijke staat dan de andere, of het kan meer koppel of gecompliceerde versnellingen vereisen. Dus hoewel wiskunde enig inzicht geeft in hoe goed taffy-trekkers trekken, vertelt het niet het volledige verhaal.
Het onderzoek van Thiffeault naar taffy-pullers inspireerde hem en zijn student Alex Flanagan om hun eigen model te bouwen. Ze wilden kijken of ze de efficiëntie konden verhogen zonder de versnellingen veel te wijzigen, en maakten uiteindelijk een nieuwe 6-stangentrekker op basis van de versnelling van de standaard 4-stangentrekker. "De reden waarom we het konden doen, is dat we nu wiskunde hebben", zegt Thiffeault. Ze konden de machine uitgebreid op de computer modelleren en veel vallen en opstaan omzeilen met echte fysieke apparaten die eerdere uitvinders moesten doen. Het 6-rod apparaat, dat nog steeds slechts een prototype is, rekt ongeveer twee keer zoveel taffy uit als de standaard trekkers in elke cyclus.
Tot nu toe hebben fabrikanten van taffy-pullers niet bepaald de deur van Thiffeault geslagen om zijn advies te krijgen over het optimaliseren van hun ontwerpen - Big Taffy is blijkbaar tevreden met zijn rekbare status-quo - maar hij hoopt dat zijn methoden effecten kunnen hebben in andere industrieën. Naast glasblazen is de farmaceutische industrie een logische plaats voor optimalisatie van mixen. Het mengen van vitamines en medicijnen vereist tenslotte een extreem hoge kwaliteitscontrole: fabrikanten zijn "bereid om veel geld te betalen voor een perfecte menging" omdat ze "geen enkele slechte multivitamine uit 1000 kunnen verdragen", zegt Thiffeault. Dus op een dag geven apothekers misschien een zoete schreeuw aan de toegewijde taffy-pullers van weleer.
Aan de andere kant, dat kan een beetje lang duren.
