Op 20 maart ontving de Amerikaans-Canadese wiskundige Robert Langlands de Abel-prijs, waarmee hij zijn levenslange wiskundeprestaties vierde. Langlands 'onderzoek toonde aan hoe concepten uit geometrie, algebra en analyse konden worden samengebracht door een gemeenschappelijke link naar priemgetallen.
Wanneer de koning van Noorwegen de prijs in Langlands in mei uitreikt, zal hij de laatste eer bewijzen in een poging van 2300 jaar om priemgetallen te begrijpen, misschien wel de grootste en oudste gegevensverzameling in de wiskunde. Als wiskundige toegewijd aan dit "Langlands-programma", ben ik gefascineerd door de geschiedenis van priemgetallen en hoe recente ontwikkelingen hun geheimen onthullen. Waarom hebben ze wiskundigen al millennia lang in de ban?
Om priemgetallen te bestuderen, drukken wiskundigen hele getallen door het ene virtuele netwerk na het andere totdat alleen priemgetallen overblijven. Dit zeefproces produceerde tabellen met miljoenen prime-lenzen in de 19e eeuw. Hiermee kunnen computers van vandaag miljarden prime-lenzen vinden in minder dan een seconde. Maar het kernidee van de zeef is in meer dan 2000 jaar niet veranderd.
"Een priemgetal is dat wat alleen door de eenheid wordt gemeten, " schreef wiskundige Euclid in 300 v.Chr. Dit betekent dat priemgetallen niet gelijkmatig kunnen worden gedeeld door een kleiner getal behalve 1. Volgens afspraak tellen wiskundigen zelf niet als een priemgetal. Euclid bewees de oneindigheid van priemgetallen - ze gaan voor altijd door - maar de geschiedenis suggereert dat het Eratosthenes was die ons de zeef gaf om de priemgetallen snel op te sommen.
Hier is het idee van de zeef. Filter eerst veelvouden van 2, dan 3, dan 5 en vervolgens 7 uit - de eerste vier priemgetallen. Als u dit doet met alle getallen van 2 tot 100, blijven alleen priemgetallen over.
Zeven veelvouden van 2, 3, 5 en 7 laten alleen de priemgetallen tussen 1 en 100 over. (Met dank aan MH Weissman) Met acht filterstappen kan men de prime-lenzen tot 400 isoleren. Met 168 filterstappen kan men de prime-lenzen tot 1 miljoen isoleren. Dat is de kracht van de zeef van Eratosthenes.
**********
Een vroege figuur in het voorspellen van priemgetallen is John Pell, een Engelse wiskundige die zich toelegde op het maken van tabellen met nuttige getallen. Hij was gemotiveerd om oude rekenproblemen van Diophantos op te lossen, maar ook door een persoonlijke zoektocht om wiskundige waarheden te organiseren. Dankzij zijn inspanningen werden de priemgetallen tot 100.000 rond de vroege 1700 wijd verspreid. Tegen 1800 hadden onafhankelijke projecten de priemgetallen in tabelvorm gebracht tot 1 miljoen.
Om de vervelende zeefstappen te automatiseren, gebruikte een Duitse wiskundige, Carl Friedrich Hindenburg, verstelbare schuifregelaars om veelvouden tegelijk over een hele pagina van een tafel te verwijderen. Een andere lowtech maar effectieve aanpak gebruikte stencils om de veelvouden te lokaliseren. Tegen het midden van de 19e eeuw was wiskundige Jakob Kulik begonnen aan een ambitieus project om alle priemgetallen tot 100 miljoen te vinden.
Een stencil gebruikt door Kulik om de veelvouden van 37 te zeven. AÖAW, Nachlass Kulik, (Afbeelding afkomstig van Denis Roegel, verstrekte auteur) Deze 'big data' uit de 19e eeuw had misschien alleen als referentietabel gediend, als Carl Friedrich Gauss niet had besloten de priemgetallen voor eigen bestwil te analyseren. Gewapend met een lijst met priemgetallen tot 3 miljoen, begon Gauss ze tegelijkertijd te tellen, één "chiliad" of groep van 1000 eenheden. Hij telde de priemgetallen tot 1.000, vervolgens de priemgetallen tussen 1.000 en 2.000, vervolgens tussen 2.000 en 3.000 enzovoort.
Gauss ontdekte dat, naarmate hij hoger telde, de prime-lenzen geleidelijk minder frequent worden volgens een "omgekeerde log" -wet. De wet van Gauss laat niet precies zien hoeveel priemgetallen er zijn, maar het geeft een redelijk goede schatting. Zijn wet voorspelt bijvoorbeeld 72 priemgetallen tussen 1.000.000 en 1.001.000. De juiste telling is 75 priemgetallen, ongeveer een fout van 4 procent.
Een eeuw na Gauss 'eerste verkenningen, werd zijn wet bewezen in de' prime number theorem '. Het percentage fout benadert nul bij steeds grotere bereiken van priemgetallen. De Riemann-hypothese, vandaag een prijzenprobleem van een miljoen dollar, beschrijft ook hoe nauwkeurig de schatting van Gauss echt is.
De theorie van het priemgetal en de Riemann-hypothese krijgen de aandacht en het geld, maar beide volgden op eerdere, minder glamoureuze gegevensanalyse.
.....
Tegenwoordig zijn onze gegevenssets afkomstig van computerprogramma's in plaats van met de hand gesneden stencils, maar wiskundigen vinden nog steeds nieuwe patronen in priemgetallen.
Met uitzondering van 2 en 5 eindigen alle priemgetallen op het cijfer 1, 3, 7 of 9. In de 19e eeuw werd bewezen dat deze mogelijke laatste cijfers even vaak voorkomen. Met andere woorden, als je kijkt naar de priemgetallen tot een miljoen, eindigt ongeveer 25 procent in 1, 25 procent eindigt in 3, 25 procent eindigt in 7 en 25 procent eindigt in 9.
Een paar jaar geleden werden Stanford-getaltheoretici Lemke Oliver en Kannan Soundararajan overrompeld door eigenaardigheden in de laatste cijfers van priemgetallen. Een experiment keek naar het laatste cijfer van een priemgetal, evenals het laatste cijfer van de eerstvolgende priemgetal. De volgende priemgetal na 23 is bijvoorbeeld 29: één ziet een 3 en vervolgens een 9 in hun laatste cijfers. Ziet men 3 dan 9 vaker dan 3 dan 7, tussen de laatste cijfers van priemgetallen?
Frequentie van laatste-cijferparen, onder opeenvolgende priemgetallen tot 100 miljoen. Bijpassende kleuren komen overeen met bijpassende openingen. (MH Weissman, CC BY) Getaltheoretici verwachtten enige variatie, maar wat ze vonden overtrof de verwachtingen. Priemgetallen worden gescheiden door verschillende hiaten; 23 is bijvoorbeeld zes getallen verwijderd van 29. Maar 3-dan-9 priemgetallen zoals 23 en 29 komen veel vaker voor dan 7-dan-3 priemgetallen, hoewel beide uit een kloof van zes komen.
Wiskundigen vonden al snel een plausibele verklaring. Maar als het gaat om de studie van opeenvolgende priemgetallen, zijn wiskundigen (meestal) beperkt tot data-analyse en overtuiging. Bewijzen - de gouden standaard van wiskundigen om uit te leggen waarom dingen waar zijn - lijken tientallen jaren weg.
Dit artikel is oorspronkelijk gepubliceerd op The Conversation.
Martin H. Weissman, universitair hoofddocent wiskunde, Universiteit van Californië, Santa Cruz
