14 maart is dit jaar geen reguliere Pi-dag. Wiskundeliefhebbers overal vieren het evenement als Ultieme Pi-dag, omdat de datum overeenkomt met de eerste vijf cijfers van pi (3.1415) in plaats van alleen de eerste drie. Deze wiskundige samenvloeiing zal een eeuw lang niet meer voorkomen, op 14 maart 2115.
gerelateerde inhoud
- De wereld zit vol met cirkels
Gedefinieerd als de verhouding van de omtrek van een cirkel tot zijn diameter, is pi ( π ) zowel een transcendentaal als een irrationeel getal, wat betekent dat het nooit kan worden geschreven als de verhouding van twee hele getallen, en het gaat voor onbepaalde tijd door zonder herhalend patroon. Pi is niet het enige irrationele nummer - er is bijvoorbeeld ook het nummer van Euler (e) en de gulden snede ( φ of phi). Maar het blijft een bron van fascinatie omdat de oorsprong ervan gemakkelijk te verklaren is, zegt Mario Livio, een astrofysicus aan het Space Telescope Science Institute in Maryland.
“Iedereen kan begrijpen hoe pi is afgeleid. Alle andere nummers zijn complexer. Het getal phi omvat bijvoorbeeld een bepaalde lijnverdeling en het getal e vereist dat u weet wat een logaritme is ', zegt Livio, auteur van het boek Is God een wiskundige?
Een ander groot deel van de aantrekkingskracht van Pi is dat het een griezelig talent heeft om te verschijnen in wiskundige formules, waarvan vele belangrijk zijn voor dagelijkse processen van beeldverwerking tot GPS-navigatie. Hier is slechts een kleine greep uit de veelgebruikte formules die pi bevatten:
De Fourier-transformatie
Genoemd naar de Franse wiskundige Jean-Baptiste Joseph Fourier, ontleedt dit wiskundige hulpmiddel een signaal in zijn samenstellende frequenties - zoals hoe een muziekakkoord kan worden opgesplitst in zijn samenstellende noten. In wezen zijn Fourier-transformaties ideaal voor het verwerken van op golven gebaseerde signalen zoals geluid of licht en het vinden van patronen. Dat maakt de Fourier een fundamenteel hulpmiddel in de moderne digitale wereld.
“Het wordt het belangrijkste algoritme genoemd dat ooit door de mensheid is ontwikkeld. Dat is misschien een hyperbool, maar misschien ook niet ', zegt Glen Whitney, oprichter en directeur van het National Museum of Mathematics in New York City. Fourier-transformaties worden altijd gebruikt om digitale afbeeldingen op te schonen, popsterren automatisch af te stemmen en verre planeten in een baan om andere sterren te vinden. De tool is ook cruciaal voor de spraak-naar-tekst-functies die nu standaard zijn op smartphones. “Wanneer je Siri of Google Now gebruikt, is een van de eerste stappen om je stem te nemen en er een Fourier-transformatie op te doen ... het blijkt veel gemakkelijker om klinkers te herkennen als je naar hun Fourier-transformaties kijkt dan wanneer je naar de originele signalen zelf ', zegt Whitney.
(Illustratie door Victoria Jaggard) Pi verschijnt in de Fourier-transformatie omdat een van de samenstellende delen of uitdrukkingen van de formule wordt geassocieerd met sinus en cosinus en de hoeken die worden gecreëerd door een deeltje dat rond een cirkel reist. "Wanneer je een formule hebt die cirkels of hoeken behandelt, zul je niet verrast zijn wanneer pi opduikt, " zegt Whitney.
Heisenberg-onzekerheidsprincipe
Een van de pijlers van de kwantummechanica, volgens Heisenberg's onzekerheidsprincipe, kan een waarnemer niet tegelijkertijd de positie en snelheid van een subatomair deeltje kennen. In plaats daarvan, hoe preciezer de positie van een deeltje bekend is, hoe minder bekend kan zijn over zijn snelheid.
(Illustratie door Victoria Jaggard) Het verschijnen van pi in het onzekerheidsprincipe van Heisenberg is logisch als je je realiseert dat in de formule positie en momentum Fourier-transformaties van elkaar zijn, zegt Whitney. Het onzekerheidsprincipe is belangrijk in de moderne wereld omdat het het gedrag van lichtdeeltjes of fotonen in communicatiesystemen met optische vezels beschrijft. “Wat het ons vertelt is dat we de positie en het momentum van fotonen niet met extreme precisie kunnen kennen. Je kunt geen communicatieprotocollen ontwerpen die het onzekerheidsprincipe van Heisenberg schenden, omdat ze niet werken. "
Stoke's Law
De wet van Stoke berekent de kracht die nodig is om een kleine bol - dat wil zeggen een driedimensionale cirkel - met een bepaalde snelheid door een viskeuze vloeistof te bewegen. Het heeft toepassingen op gebieden variërend van aardwetenschappen tot medicijnen.
(Illustratie door Victoria Jaggard) "De wet gaat specifiek over het effect van viscositeit op een bol in de vloeistof, " zegt Whitney, dat is hoe pi in het spel komt. Wat praktisch gebruik van de wet van Stoke betreft, zoek niet verder dan uw auto. "Decennialang was de manier waarop bedrijven ervoor zorgden dat uw motorolie de juiste viscositeit had voor uw auto door letterlijk een reeks testbollen in de olie te laten vallen en de tijd te meten die het kost om door de vloeistof te vallen", zegt Whitney. Tegenwoordig is de meest gebruikelijke manier om olieviscositeit te meten een hulpmiddel genaamd een capillaire buisviscometer, geen bollen nodig - maar het rapporteert nog steeds de uitkomst in meeteenheden die centistokes worden genoemd.
Euler's formule
Vernoemd naar de Zwitserse wiskundige Leonard Euler, de versie van deze formule met pi verzamelt enkele van de meest intrigerende cijfers in de wiskunde op één plaats:
(Illustratie door Victoria Jaggard) “Iedereen denkt gewoon dat dit ongelooflijk is. Al deze getallen die we als speciaal beschouwen, verschijnen in één mooie vergelijking, 'zegt Livio. Hoewel deze pittige formule ontzag kan wekken bij wiskundigen, is de meer bruikbare vorm van de vergelijking iets langer:
(Illustratie door Victoria Jaggard) Deze uitgepakte versie van de formule van Euler is een ongelooflijke tool, zegt Whitney. Het is bijvoorbeeld belangrijk voor het ontwerpen van elektronica die wisselstroom of wisselstroom gebruikt. "De formule van Euler in de uitgebreide vorm betekent dat u complexe of denkbeeldige getallen kunt gebruiken om AC-circuits te analyseren en te ontwerpen", zegt Whitney. Dat komt omdat in een wisselstroomcircuit de spanning een hoeveelheid is die in de tijd schommelt - meestal 60 keer per seconde, bijvoorbeeld in een standaard Amerikaanse stroomvoorziening. "De volledige versie van de formule van Euler leert hoe we complexe getallen kunnen gebruiken als handige stenografie voor het modelleren van oscillerende fenomenen, " zegt Whitney.
Einstein's veldvergelijkingen
Albert Einstein's veldvergelijkingen, een kerncomponent van zijn algemene relativiteitstheorie, beschrijven hoe zwaartekracht uit massa en energie de kromming van ruimte-tijd creëert.
(Illustratie door Victoria Jaggard) "Beschrijvend dat kromming geometrie inhoudt, en omdat de oorspronkelijke definitie van pi uit geometrie komt, is het uiterlijk in deze vergelijking niet zo verrassend, " zegt Livio. Naast het onthullen van een fundamentele waarheid over hoe het universum werkt, heeft algemene relativiteitstheorie veel praktische toepassingen. De satellieten die deel uitmaken van het Global Positioning System dat wordt gebruikt voor navigatie zouden bijvoorbeeld hopeloos niet synchroon lopen als ingenieurs geen rekening houden met de door de theorie voorspelde tijdsvertragingseffecten.
