Je hebt hoogstwaarschijnlijk honderden keren in je dagelijks leven eenzijdige objecten aangetroffen - zoals het universele symbool voor recycling, gevonden op de achterkant van aluminium blikjes en plastic flessen.
Dit wiskundige object wordt een Mobius-strip genoemd. Sinds de ontdekking in 1858 door August Möbius, een Duitse wiskundige die 150 jaar geleden stierf op 26 september 1868, heeft het milieuactivisten, kunstenaars, ingenieurs, wiskundigen en vele anderen gefascineerd.
Möbius ontdekte de eenzijdige strook in 1858 terwijl hij diende als voorzitter van astronomie en hogere mechanica aan de Universiteit van Leipzig. (Een andere wiskundige met de naam listing beschreef het eigenlijk een paar maanden eerder, maar publiceerde zijn werk pas in 1861.) Möbius lijkt de Möbius-strip te zijn tegengekomen tijdens het werken aan de geometrische theorie van veelvlakken, solide figuren bestaande uit hoekpunten, randen en platte gezichten .
Een Möbius-strook kan worden gemaakt door een strook papier te nemen, waardoor het een oneven aantal halve wendingen krijgt en vervolgens de uiteinden weer aan elkaar te plakken om een lus te vormen. Als u een potlood neemt en een lijn langs het midden van de strook trekt, ziet u dat de lijn blijkbaar langs beide zijden van de lus loopt.
Het concept van een eenzijdig object inspireerde kunstenaars als de Nederlandse grafisch ontwerper MC Escher, wiens houtsnede "Möbius Strip II" toont rode mieren die achter elkaar kruipen langs een Möbius-strook.
De Möbius-strip heeft meer dan slechts één verrassende eigenschap. Probeer bijvoorbeeld een schaar te nemen en de strook in tweeën te knippen langs de lijn die u zojuist hebt getekend. Het zal je misschien verbazen dat je niet twee kleinere eenzijdige Möbius-strips hebt, maar een lange tweezijdige lus. Als u geen papier bij de hand hebt, laat Eschers houtsnede "Möbius Strip I" zien wat er gebeurt als een Möbius-strip langs de middellijn wordt gesneden.
Hoewel de strip zeker visueel aantrekkelijk is, is de grootste impact geweest in de wiskunde, waar het heeft bijgedragen aan de ontwikkeling van een heel veld genaamd topologie.
Een topoloog bestudeert eigenschappen van objecten die behouden blijven wanneer ze worden verplaatst, gebogen, uitgerekt of gedraaid, zonder delen aan elkaar te snijden of te lijmen. Een verward paar oordopjes is bijvoorbeeld in topologische zin hetzelfde als een verward paar oordopjes, omdat het omschakelen naar een ander alleen bewegen, buigen en draaien vereist. Geen knippen of lijmen nodig om tussen hen te transformeren.
Een ander paar objecten die topologisch hetzelfde zijn, zijn een koffiekopje en een donut. Omdat beide objecten slechts één gat hebben, kan de ene worden vervormd in de andere door alleen uit te rekken en te buigen.
Een mok verandert in een donut. (Wikimedia Commons) Het aantal gaten in een object is een eigenschap die alleen kan worden gewijzigd door knippen of lijmen. Met deze eigenschap - het 'geslacht' van een object genoemd - kunnen we zeggen dat een paar oordopjes en een donut topologisch verschillend zijn, omdat een donut één gat heeft, terwijl een paar oordopjes geen gaten heeft.
Helaas lijken een Möbius-strip en een tweezijdige lus, zoals een typische polsband voor siliconenbewustzijn, beide één gat te hebben, dus deze eigenschap is onvoldoende om ze uit elkaar te houden - althans vanuit het oogpunt van een topoloog.
In plaats daarvan wordt de eigenschap die een Möbius-strook onderscheidt van een tweezijdige lus, oriënteerbaarheid genoemd. Net als het aantal gaten, kan de oriënteerbaarheid van een object alleen worden gewijzigd door knippen of lijmen.
Stel je voor dat je een briefje schrijft op een doorzichtig oppervlak en dan een wandeling maakt op dat oppervlak. Het oppervlak is richtbaar als u de notitie altijd kunt lezen wanneer u terugkomt van uw wandeling. Op een niet-oriënteerbaar oppervlak kunt u alleen terugkomen van uw wandeling om te ontdekken dat de woorden die u hebt geschreven blijkbaar in spiegelbeeld zijn veranderd en alleen van rechts naar links kunnen worden gelezen. In de tweezijdige lus wordt de notitie altijd van links naar rechts gelezen, ongeacht waar uw reis u heeft gebracht.
Omdat de Möbius-strook niet-oriënteerbaar is, terwijl de tweezijdige lus oriënteerbaar is, betekent dit dat de Möbius-strook en de tweezijdige lus topologisch verschillend zijn.
(Gemaakt door David Gunderman) Wanneer de GIF start, zijn de stippen met de klok mee zwart, blauw en rood. We kunnen de configuratie met drie stippen echter zo rond de Möbius-strook verplaatsen dat de afbeelding zich op dezelfde locatie bevindt, maar de kleuren van de stippen die met de klok mee worden weergegeven, zijn nu rood, blauw en zwart. Op de een of andere manier is de configuratie veranderd in zijn eigen spiegelbeeld, maar het enige dat we hebben gedaan, is deze over het oppervlak verplaatsen. Deze transformatie is onmogelijk op een richtbaar oppervlak zoals de tweezijdige lus.
Het concept van oriënteerbaarheid heeft belangrijke implicaties. Neem enantiomeren. Deze chemische verbindingen hebben dezelfde chemische structuren behalve één belangrijk verschil: het zijn spiegelbeelden van elkaar. De chemische L-methamfetamine is bijvoorbeeld een ingrediënt in Vicks Vapor Inhalers. Het spiegelbeeld, D-methamfetamine, is een klasse A illegaal medicijn. Als we in een niet-oriënteerbare wereld zouden leven, zouden deze chemicaliën niet te onderscheiden zijn.
De ontdekking van augustus Möbius opende nieuwe manieren om de natuurlijke wereld te bestuderen. De studie van de topologie blijft verbluffende resultaten opleveren. Vorig jaar bijvoorbeeld leidde topologie wetenschappers tot het ontdekken van vreemde nieuwe toestanden van materie. De Fields-medaille van dit jaar, de hoogste eer in de wiskunde, werd toegekend aan Akshay Venkatesh, een wiskundige die hielp bij het integreren van topologie met andere velden, zoals de getaltheorie.
Dit artikel is oorspronkelijk gepubliceerd op The Conversation.
David Gunderman, Ph.D. student Toegepaste Wiskunde, Universiteit van Colorado en Richard Gunderman, Chancellor's Professor of Medicine, Liberal Arts, and Philanthropy, Indiana University
