Als je een ouder bent van kinderen jonger dan 10 jaar, is de kans erg groot dat je bekend bent met een spel genaamd "Spot It!"
Spot It !, in zijn opvallende ronde blik, is enorm populair - het staat in de top tien van Amazon's lijst met best verkopende kaartspellen, precies daar met klassiekers als Uno en Taboo. Meer dan 12 miljoen exemplaren van het spel zijn verkocht sinds de eerste release in 2009, met meer dan 500.000 verkocht elk jaar alleen al in de Verenigde Staten. Het wordt vaak gebruikt in klaslokalen, verschijnt op lijsten van educatieve spellen die cognitieve ontwikkeling bevorderen, en spraak- en ergotherapeuten in de VS onderschrijven het. Het is het soort spel dat je het gevoel geeft dat je iets goeds voor je hersenen doet wanneer je het speelt.
De basisstructuur van het spel is deze: het kaartspel heeft 55 kaarten, met acht symbolen op elke kaart, uit een bank van in totaal 57 symbolen. Als u twee willekeurige kaarten kiest, komt altijd één symbool overeen. Het spel biedt verschillende manieren om te spelen, maar ze hangen allemaal af van de snelheid waarmee je de wedstrijd ziet - de twee blokken kaas, de inktvlekken, de dolfijnen, de sneeuwmannen enzovoort.
Maar hoe - hoe !? - Is het mogelijk dat elke kaart op één manier overeenkomt met een andere kaart?
Het is geen magie. Het is wiskunde.
**********
Het verhaal van Spot It !, eerst en nog steeds gepubliceerd als 'Dobble' in Europa, begint in 1850 Groot-Brittannië. Destijds zat Groot-Brittannië midden in een soort wiskundige renaissance. Na een periode van relatieve stagnatie tijdens het Georgische tijdperk, leek het bewind van koningin Victoria een bloei te veroorzaken van wiskundige rocksterren, mensen zoals Charles Babbage, George Boole, John Venn en Arthur Cayley. Dit was een tijdperk van abstracte wiskundige filosofie en onderzoek, van het vaststellen van de wiskundige principes die ten grondslag liggen aan moderne digitale technologie - zonder deze jongens zou modern computergebruik niet kunnen bestaan.
Dominee Thomas Penyngton Kirkman was geen wiskundige rockster, niet precies. Een Anglicaanse predikant met een bachelordiploma van het Trinity College in Dublin, diende Kirkman 52 jaar lang een kleine parochie in Lancashire, in het noorden van Engeland. Maar hij was intellectueel nieuwsgierig - de overlijdensadvertentie van zijn zoon over hem, na zijn dood in 1895, verklaarde dat Kirkmans voornaamste interesses 'de studie van pure wiskunde, de hogere kritiek op het Oude Testament en vragen van eerste principes' waren. Over de laatste twee er zijn nog maar weinig records over. Van de eerste echter liet Kirkman een catalogus achter van ongeveer 60 belangrijke artikelen over alles, van groepstheorie tot veelvlak - hoewel meestal gepubliceerd in obscure tijdschriften, bezaaid met complexe en soms uitgevonden wiskundige terminologie en weinig gezien - een ondergewaardeerde erfenis, en op zijn minst een heel interessant probleem.
In 1850 diende Kirkman een puzzel in bij "The Ladies and Gentleman's Diary", een jaarlijks recreatief wiskundetijdschrift dat inhoud nam van zowel amateurs als professionele wiskundigen. De vraag luidde: "Vijftien jonge dames op een school lopen drie dagen achter elkaar drie dagen achter elkaar weg: het is nodig om ze dagelijks te regelen, zodat er geen twee twee keer naast elkaar kunnen lopen." Het schoolmeisjesprobleem van Kirkman was een kwestie van combinatoriek, een tak van logica die zich bezighoudt met combinaties van objecten volgens gespecificeerde criteria. Je bent waarschijnlijk meer bekend met combinatoriek dan je zou denken - het is het wiskundige principe dat Sudoku-rasters informeert. (En als u de LSATS's hebt gebruikt, bent u er zeker bekend mee - "Analytisch redeneren" gaat helemaal over combinatoriek.)
Kirkman had het probleem eigenlijk drie jaar eerder opgelost, toen hij bepaalde hoeveel schoolmeisjes hij nodig had om de puzzel te laten werken. Dit bewijs was het antwoord op een vraag die in 1844 in hetzelfde tijdschrift werd gesteld: “Bepaal het aantal combinaties dat kan worden gemaakt van n symbolen, p symbolen in elk; met deze beperking, dat geen enkele combinatie van q-symbolen die in een van hen mag voorkomen, in een andere wordt herhaald. ”Kirkman extrapoleerde dit als een kwestie van niet-herhaalde paren in drielingen, waarbij aan een bepaald aantal elementen werd gevraagd hoeveel unieke drielingen kunt u hebben voordat u paren begint te herhalen? In zijn boek uit 2006 over het Kirkman-probleem, The Fifteen Schoolgirls, geeft Dick Tahta verschillende voorbeelden van hoe het probleem zou kunnen werken: “Je hebt zeven vrienden die je in drieën wilt uitnodigen voor een diner. Hoe vaak kun je dit doen voordat twee van hen voor de tweede keer samenkomen? ”In dat geval, n = 7, p = 3 en q = 2.
Met name het bewijs van Kirkman was zijn eerste wiskundige paper, gepresenteerd in december 1846, toen hij al 40 jaar oud was. Het leek ook een oplossing te zijn voor een probleem van de beroemde Zwitserse geometer Jakob Steiner - zijn 'drievoudige systeem', een reeks unieke subsets van drie - ongeveer zes jaar voordat Steiner het voorstelde. Maar de algemene oplossing - het principe achter waarom het werkt, en laten zien dat het altijd werkt - zou pas in 1968 worden ontdekt, toen wiskundigen Dijen Ray-Chaudhuri en zijn toenmalige student, Richard Wilson, aan de Ohio State University, werkte mee aan een stelling die het bewees.
“Kirkman werd, voor zover we weten, alleen gedreven door nieuwsgierigheid. Maar zoals zo vaak gebeurt in de wiskunde, bleken zijn ideeën een brede toepassing te hebben. In statistieken gebruikte Sir Ronald Fisher ze om experimentele ontwerpen te maken die elk paar voorgestelde behandelingen op een optimale manier vergelijken. Ze komen ook voor in de theorie van foutcorrigerende codes, zoals gebruikt in de communicatie tussen computers, satellieten, enzovoort, ”schrijft Peter Cameron, een wiskundige aan de Universiteit van St. Andrews, in een e-mail. "Een andere toepassing blijkt kaartspellen te zijn."
Spot het!
The Smash Hit Party Game. Spot het! is het verslavende, koortsachtig leuke matching-spel voor elke generatie. Het eerste wat u moet weten over Spot it! is dat er altijd één, en slechts één, overeenstemmend symbool is tussen twee willekeurige kaarten. Begrepen? Nu heb je alleen nog maar een scherp oog en een snelle hand nodig om alle vijf partygames te spelen, verpakt in de grab 'n' go tin. Inclusief maximaal acht spelers, Spot it! is een makkie om te leren, speelt snel en is onweerstaanbaar leuk voor alle leeftijden. Als je eenmaal "spot", stopt het plezier niet. Eenvoudig te leren, een uitdaging om te winnen.
KopenMaar nog niet. De algemene oplossing van Ray-Chaudhuri en Wilson had een golf van interesse in Kirkman's Schoolgirl Problem geïnspireerd, niet in de laatste plaats vanwege de toepassingen op het snel groeiende gebied van codering en berekening. Onder hen haalde het een jonge Franse wiskundeliefhebber genaamd Jacques Cottereau. Dit was 1976, en Cottereau werd geïnspireerd door relatief nieuwe theorieën over foutcorrectiecodes en door de principes van de zogenaamde "onvolledige gebalanceerde blokken", waarin een eindige set elementen zijn gerangschikt in subsets die voldoen aan bepaalde "balans" -parameters, een concept vaak gebruikt bij het ontwerpen van experimenten.
Cottereau wilde een model bedenken om de puzzel in elke combinatie te laten werken, en hij wilde dat het leuk zou zijn . Hij realiseerde zich al snel dat de principes in de oplossing geen cijfers of schoolmeisjes hoefden te zijn. Voor zijn nieuwe verbeelding van het probleem Schoolmeisje ontwierp Cottereau een "spel van insecten": een set van 31 kaarten met zes afbeeldingen van insecten, precies één afbeelding gedeeld tussen elk van hen. Het 'insectenspel', een beperkte versie van wat Spot It! zou echter nooit voorbij Cottereau's woonkamer komen en de volgende 30 jaar stof verzamelen.
Cottereau was noch een professionele wiskundige, noch een spelmaker; hij was gewoon een hobbyist die een "passie voor dit specifieke domein" had, aldus Denis Blanchot, mede-uitvinder van Dobble. Blanchot is ook geen wiskundige - hij is journalist van beroep - maar hij houdt ervan games te maken en te ontwerpen. In 2008 stuitte Blanchot op een paar kaarten uit het spel met insecten - Cottereau is de vader van de schoonzus van Blanchot - en zag daarin de zaden van een vermakelijk spel.
“Hij had het idee om het te vertalen naar kaarten. Ik heb er een echt spel, snelheid en plezier van gemaakt, ”zegt Blanchot via Facebook messenger. Ze zagen het spel, dat ze Dobble noemden, voor iedereen, niet alleen voor kinderen.
Blanchot werkte aan de illustraties voor het prototype, een mix van dieren, tekens en objecten, waarvan sommige nu nog steeds deel uitmaken van het spel, en na vele speeltesten hebben ze verschillende benaderingen van gameplay bedacht. De game Dobble, zo genoemd als een spel op het woord 'dubbel', werd in 2009 in Frankrijk gelanceerd onder de uitgeverijen Play Factory en vervolgens in 2010 in Duitsland. Datzelfde jaar verkochten Blanchot en Cottereau de game aan Play Factory. Een inlegger, die sinds 2016 in de verpakking van de game is opgenomen, vermeldt Blanchot en Cottereau als de makers, "met hulp van het Play Factory Team", hoewel de twee helemaal niet meer bij de game betrokken zijn.
Dobble werd in 2011 in het VK en Noord-Amerika uitgebracht als Spot It !, tot redelijk onmiddellijk succes. Asmodee verwierf de wereldwijde rechten op het spel van Play Factory en de Amerikaanse distributeur, Blue Orange, in 2015. Nu is het spel gepubliceerd met meer dan 100 verschillende thema's, waaronder de National Hockey League, "hip" (snorren en fietsen), en Pixar's Finding Dory . Ze hebben versies gemaakt met Spaanse en Franse woordenschat, met het alfabet en cijfers, en kaarten met Disney-prinsessen en Star Wars . De eerste uitgevers van het spel maakten zelfs ooit een versie voor de Franse politie met behulp van rijbaansymbolen - en een fles wijn, zegt Jon Bruton, koper van Asmodee Europe: "Ze zeiden dat het een herinnering was om niet te drinken en te rijden."
Ben Hogg, marketingmanager voor Asmodee Europe, schreef het succes van het spel - het is dit jaar het populairste kaartspel in het Verenigd Koninkrijk - aan het gebruiksgemak. “Mensen kunnen vrijwel onmiddellijk leren spelen. Ze kunnen het buitengewoon goed spelen, maar ze kunnen het niet beheersen, 'zei hij. "Het is een van die games die je mensen kunt laten zien en meteen krijgen ze het, ze zien wat er leuk aan is."
**********
Maar de meeste mensen die spelen, begrijpen niet precies waarom het werkt. Spot het! is misschien gemakkelijk om te spelen, maar de wiskunde erachter is verrassend ingewikkeld.
Het spel is simpelweg gebaseerd op het principe van Euclides dat twee lijnen op een oneindig tweedimensionaal vlak slechts één gemeenschappelijk punt zullen delen. In de 18e en 19e eeuw informeerde de Euclidische geometrie de basis van de moderne algebra door Rene Descartes die deze puntcoördinaten toewees, zodat punten niet langer fysieke locaties waren; ze kunnen getallen worden en later getalsystemen. Cameron: "Beschouw meisjes als" punten "en groepen van drie meisjes als" lijnen "voor het doel van Kirkman's schoolmeisjeprobleem. Euclides axioma is tevreden. ... Het moeilijkere deel van het probleem is om de 35 groepen in 7 clusters van 5 te verdelen, zodat elk meisje eenmaal in elke cluster voorkomt. In de termen van Euclid is dit hetzelfde als het toevoegen van de relatie van parallellisme aan de opzet. ”
Het probleem van Kirkman, en dus de oplossing van Spot It!, Leeft op het gebied van eindige geometrie. “De meest elementaire van deze geometrieën heeft q2-punten, met q-punten op elke lijn, waarbij q het aantal elementen in het gekozen nummerstelsel of veld is. Een kleine variant geeft q 2 + q + 1 punten, met q + 1 punten op elke regel ', schrijft Cameron.
Het Fano-vliegtuig, genoemd naar de Italiaanse wiskundige Gino Fano, is een structuur in eindige geometrie waarbij zeven punten met elkaar verbonden zijn door zeven lijnen (inclusief de cirkel in het midden). Elk punt heeft precies drie lijnen die samenkomen, en elke lijn kruist precies drie punten. Als de punten afbeeldingen weergeven en de lijnen kaarten in Spot It! Waren, die elk alleen de afbeeldingen bevatten die de lijn raakt, dan zouden er zeven kaarten zijn met elk drie afbeeldingen, en elke twee kaarten zouden slechts één afbeelding delen. Hetzelfde concept kan worden opgeschaald voor een volledig dek. (Publiek domein) Wat betekent dit voor Spot It? “Laten we een van deze geometrieën nemen en proberen er een kaartspel van te maken. Elke kaart wordt als een punt beschouwd en bevat een aantal symbolen die de lijnen vertegenwoordigen die dat punt bevatten. Gegeven twee kaarten, is er slechts één symbool dat ze gemeen hebben, dat overeenkomt met de unieke lijn door de twee punten, "zei Cameron.
Met q is zeven in de formule, kunnen we bepalen dat er 57 punten (7 2 + 7 + 1) zijn, met acht punten (7 + 1) op elke lijn. “We kunnen dus een set van 57 kaarten maken, met acht symbolen op elke kaart, en twee kaarten die precies één symbool gemeen hebben. Daar is de game in wezen! ', Zegt Cameron.
Met name echter, Spot It! bevat geen 57 kaarten, het bevat slechts 55. Een theorie over de ontbrekende twee kaarten is dat de fabrikanten standaard kaartenmaakmachines gebruikten, en standaard kaartspellen 55 kaarten bevatten - 52 kaartspeelkaarten, twee Jokers en reclame. "Geen probleem", schreef Cameron. “Maak 57 kaarten en verlies er twee; de resulterende 55 heeft nog steeds de eigenschap dat elke twee slechts één symbool delen. Inderdaad, ongeacht hoeveel kaarten je verliest, deze eigenschap blijft behouden. "
**********
Je hoeft natuurlijk niet te begrijpen hoe het werkt om het spel te spelen. Maar proberen erachter te komen kan een toegangspoort zijn tot het begrijpen of denken over wiskunde op nieuwe manieren. Voordat Jon Bruton koper werd van Asmodee, was hij wiskundeleraar op een middelbare school in Hampshire, Engeland. Hij gebruikte Dobble in zijn klaslokalen, eerst liet hij kinderen het spel spelen - en vervolgens liet ze hun eigen versies ontwerpen.
"Het was er een dat in principe iedereen kon slagen op een eerste niveau ... Het idee was een startpunt om naar combinatoriek en matrices te kijken, het was een haak", zegt hij. "De meeste kinderen konden een of twee sets ontwerpen, de uitdaging zou zijn om rond te zitten en te vragen, hoe zou ik dit eigenlijk kunnen laten werken?"
Het is moeilijk om erachter te komen hoe het werkt, vooral voorbij sets van twee of drie. Dus zeker, je zou de game deze feestdagen kunnen kopen - en je zou een heleboel behoorlijk leuke thematische opties hebben - maar wat als je je eigen zou maken?
