https://frosthead.com

Het grote debat over of 1 + 2 + 3 + 4 .. + ∞ = -1/12

Dus daar leef je je leven, tevreden in je greep op hoe de wereld werkt: omhoog is omhoog, omlaag is omlaag, de zon komt op in het oosten en gaat onder in het westen. Dan, uit het niets, proberen een stel wiskundigen je te vertellen dat de som van alle positieve gehele getallen, dat wil zeggen 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... enzovoort tot in het oneindige gelijk is aan .. -1/12.

gerelateerde inhoud

  • Wat zijn de volgende leuke datums voor wiskundeliefhebbers na 13-12-14?

Nou, dat is duidelijk belachelijk, toch? Hoe kunnen steeds grotere aantallen, wanneer ze worden opgeteld, een klein aantal maken? Hoe kunnen hele getallen een breuk maken? Hoe kunnen positieve getallen negatief worden?

Dus je kijkt naar de rest van de video (hierboven), gemaakt door Numberphile, een hoop wiskundewinsten met een populair (en over het algemeen betrouwbaar) YouTube-kanaal over wiskunde. (Let op. Het is het waard. We zullen wachten.) Hun bewijs lijkt oerdegelijk. Een stel echt slimme mensen, van astronoom Phil Plait tot de mensen van Physics Central, verdubbelen de claim. "Het blijkt dat de conclusies die ze in die video trekken letterlijk correct zijn. Je kunt een oneindige reeks positieve getallen toevoegen, en ze zullen optellen tot een negatieve fractie, " zei Plait.

Dus dat is het, toch? Wiskunde slaat nergens op en de wereld is raar.

Maar dat is niet het einde van het verhaal.

Een tweede set van de wiskundig geneigde mensen, inclusief de wetenschappelijke Amerikaanse blogger Evelyn Lamb en natuurkundige Greg Gbur, ging op het web om aan te tonen dat terwijl de som van alle positieve getallen min of meer gelijk kan zijn aan -1/12 (een resultaat dat leg uit, wordt altijd gebruikt bij het nauwkeurig oplossen van fysische problemen), dit verbijsterende antwoord werkt echt alleen als je sommige kernbegrippen van de wiskunde volledig opnieuw definieert.

Phil Plait en de Physics Central-bemanning kwamen uiteindelijk rond en het was de follow-up van Physics Central die ons het meest hielp om dit probleem op te lossen.

Volgens Physics Central is 1 + 2 + 3 + 4 + ... alleen gelijk aan -1/12 omdat de wiskundigen het gelijkteken opnieuw hebben gedefinieerd. In deze stijl van wiskunde, analytische voortzetting genoemd, "=" gestopt betekent "is gelijk aan" en begon te betekenen "is geassocieerd met". Lastige wiskundigen.

Deze wiskundige truc gaat ver terug, zegt Physics Central. Het is in het werk van pionierende Indiase wiskundige Srinivasa Ramanujan, bijvoorbeeld:

Ramanujan is ook een beetje de schuldige. Hoe moeten we tenslotte begrijpen wat hij hier probeerde te zeggen?

"Ik vertelde hem dat de som van een oneindig aantal termen uit de serie: 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = −1/12 volgens mijn theorie. Als ik je dit vertel, zul je me meteen wijzen het gekkenhuis als mijn doel. "
-S. Ramanujan in een brief aan GH Hardy

Moeten we ons realiseren dat "volgens mijn theorie" betekent dat "=" niet gelijk betekent?

Ik heb zijn oorspronkelijke werk niet gevonden, maar verschillende mensen hebben een berekening door Euler gereproduceerd die op dezelfde manier een gelijkteken gebruikt. Als de twee kanten niet gelijk zijn, zoals ik me herinner uit de wiskunde van het tweede leerjaar, kun je geen gelijkteken gebruiken.

Dus, doet 1 + 2 + 3 + 4 + 5 .... = -1/12? Ja, maar alleen als, voor jou, een gelijkteken iets anders betekent dan "is gelijk aan".

Dat wil niet zeggen dat het Numberphile-team gewoon met onze hoofden bezig was. De waarde -1/12 kan op een aantal manieren worden bewezen en het resultaat is zeker nuttig. Maar 1 + 2 + 3 + 4 + ... is absoluut niet gelijk aan -1/12 op een manier die een persoon er normaal gesproken over zou denken.

Dat het Numberphile-team zo'n sprong heeft gemaakt zonder het aan mensen uit te leggen, zegt natuurkundige Greg Gbur, is een beetje jammer:

De video maakt het zo eenvoudig en onomstreden, bijna voor de hand liggend. Maar er zijn enkele grote wiskundige veronderstellingen verborgen in hun argument die het naar mijn mening zeer misleidend maken. Anders gezegd: in beperkte, gespecialiseerde wiskundige zin kan men de waarde -1/12 toekennen aan de toenemende positieve som. Maar in de gebruikelijke zin van toevoeging die de meeste mensen intuïtief zouden gebruiken, is het resultaat onzinnig.

Voor mij is dit een belangrijk onderscheid: een deprimerend groot deel van de bevolking neemt automatisch aan dat wiskunde een niet-intuïtieve, bizarre tovenarij is die alleen de superintelligent mogelijk kan doorgronden. Het tonen van zo'n gek resultaat zonder kwalificatie versterkt alleen dat beeld, en naar mijn mening is het een slechte dienst voor de wiskunde.

We hebben niet eens geprobeerd om lange bewijzen aan te pakken die betrokken zijn bij het regelen van dit debat hier, maar als je meer wilt, kijk dan op:

Correctie: doet 1 + 2 + 3 + 4 +. . . = -1/12? Absoluut niet! Door Physics Central

Oneindige serie: niet zo raar als sommigen zouden zeggen door Greg Gbur

Follow-up: The Infinite Series en het verbluffende resultaat van Phil Plait

Is 1 + 2 + 3 ... Echt gelijk aan -1/12? van Evelyn Lamb

Het grote debat over of 1 + 2 + 3 + 4 .. + ∞ = -1/12