In de kunst of literatuur kan schoonheid de afgelopen jaren misschien zijn munt hebben verloren als een standaard van oordeel of criterium voor excellentie, beschouwd als te subjectief of cultureel gemedieerd. Voor wiskundigen is schoonheid als een eeuwige waarheid echter nooit uit de mode geraakt. "Schoonheid is de eerste test: er is geen permanente plaats in deze wereld voor lelijke wiskunde, " schreef de Britse getaltheoreticus Godfrey Hardy in 1941.
Om een voorproefje van wiskundige schoonheid te krijgen, begin je met naar je favoriete pub te gaan en een ijzige mok bier te bestellen. Plaats het driemaal op een papieren onderleggertje en vorm drie condensatieringen - zorg ervoor dat dit zo is dat alle drie de ringen elkaar kruisen op één punt. Vraag nu aan uw metgezellen: hoe groot een mok moet men de andere drie snijpunten bedekken? Men neemt bijna altijd aan dat alleen een gigantische mok dat doel zou dienen. Het verrassende antwoord: dezelfde mok! Het is een volledig waterdichte oplossing. (Zie afbeelding links voor twee even geldige oplossingen; in elk geval zijn de volle cirkels de eerste drie ringen; de gestreepte cirkel is de vierde ring, die de mok voorstelt die de andere drie snijpunten bedekt.)
Deze stelling werd gepubliceerd door Roger A. Johnson in 1916. Johnson's cirkel stelling demonstreert twee van de essentiële vereisten voor wiskundige schoonheid. Ten eerste is het verrassend. Je verwacht niet dat dezelfde cirkel weer in de oplossing verschijnt. Ten tweede is het eenvoudig. De betrokken wiskundige concepten, cirkels en stralen, zijn basisbegrippen die de tand des tijds hebben doorstaan. De stelling van Johnson komt echter in een opvallend opzicht tekort op de schoonheidsafdeling. De beste stellingen zijn ook diep, bevatten veel betekenislagen en onthullen meer naarmate je er meer over leert.
Welke wiskundige feiten voldoen aan deze hoge standaard van schoonheid? De Duitse wiskundige Stefan Friedl heeft gepleit voor Grigory Perelman's Geometrization Theorem, waarvoor het bewijs pas in 2003 werd geleverd. De stelling, die een sensatie in de wereld van wiskundigen creëerde, zet een belangrijke stap vooruit in de classificatie van driedimensionale topologische ruimten. (Je kunt deze ruimtes beschouwen als mogelijke alternatieve universums.) "De Geometrization Theorem, " zegt Friedl, "is een object van verbluffende schoonheid."
Het komt erop neer dat de meeste universums een natuurlijke geometrische structuur hebben die anders is dan die we op de middelbare school leren. Deze alternatieve universums zijn niet Euclidisch of plat. De vraag heeft te maken met de kromming van de ruimte zelf. Er zijn verschillende manieren om uit te leggen wat dit betekent; de meest precieze wiskundige is om te zeggen dat alternatieve universums 'hyperbolisch' of 'negatief gebogen' zijn in plaats van plat.
Wiskundigen beginnen pas te worstelen met de implicaties. Astrofysische gegevens geven aan dat ons eigen universum plat is. Maar in deze alternatieve universums is vlakheid niet de natuurlijke staat. Volgens de stelling van Perelman vormt ons ogenschijnlijk vlakke universum een verrassende uitzondering.
Een andere reden dat de stelling internationale publiciteit trok, heeft te maken met de wiskundige zelf. In 2010 daalde de teruggetrokken Rus een prijs van een miljoen dollar voor zijn doorbraak van het Clay Mathematics Institute in Cambridge, Massachusetts. Het was duidelijk dat wiskundige schoonheid voor Perelman niet iets was dat kon worden gekocht en betaald. Het veranderen van ons begrip van het universum was voldoende beloning.